Bloque 4 Utilizas funciones polinomiales de grados tres y cuatro

Función polinómica de grado 3

Se denomina función cúbica a toda función de la forma:

y=a*x³+b*x²+c*x+d

donde a (distinto de 0), b, c y d son números reales.

Función polinómica de grado 4

Es la función de fórmula:

 y=a*x⁴+b*x³+c*x²+dx+e

donde a (distinto de 0), b, c, d y e son números reales.

Propiedades geométricas de funciones polinomiales 

Ejercicio 1 :

Analizar y representar la función f(x)=0.25x⁴-2x²+3
a) Dominio: R
b) Simetría: Por ser función par, es simétrica respecto del eje OX.
c) Corte con los ejes:

• Cortes con OX: 0.25x⁴-2x²+3=0 ®  x=±Ö6, ±Ö2
• Corte con OY: f(0)=3

d) Regiones: El signo en cada intervalo se obtiene fácilmente pues basta calcularlo en uno cualquiera de ellos y se va alternando.

x	(-¥,-Ö6)	(-Ö6,-Ö2)	(-Ö2,Ö2)	(Ö2,Ö6)	(Ö6,+¥)
y	+	-	+	-	+

e) Ramas parabólicas:

• Para x ® ±¥, f(x) ® +¥

f) Puntos singulares:

• f'(x)=x³-4x
• f'(x)=0 « x(x²-4)=0 ® x=0, x=2, x=-2
• f(0)=3, f(2)=-1, f(-2)=-1
• f''(x)=3x²-4
• f''(0)=-4 <0 ® Máximo (0,3)
• f''(-2)=8 >0 ® Mínimo (-2,-1)
• f''(2)=8 >0 ® Mínimo (2,-1)

g) Puntos de inflexión:

• f''(x)=0 «  3x²-4=0 ® x=±Ö4/3
• f(Ö4/3)=7/9; f(-Ö4/3)=7/9
• f'''(x)=6x
• f'''(Ö4/3) >0 ® Inflexión: (Ö4/3,7/9)
• f'''(-Ö4/3)<0 ®Inflexión: (-Ö4/3,7/9)

Ejercicio 2:

Analizar y representar la función f(x)=x⁴+1
a) Dominio: R
b) Simetría: Como no es ni par ni impar no hay simetría ni respecto del eje OX ni respecto del origen.
c) Cortes con los ejes:

• Eje OX: f(x)=0 « x⁴+1=0 ®  x⁴=-1 No tiene
• Eje OY: f(0)=1

d) Regiones:
Al no tener corte con el eje OX, la función tiene el mismo signo en todo R: x⁴+1 > 0
e) Ramas parabólicas:

• Para x ® ±¥, f(x) ® +¥

f) Puntos singulares:

• f'(x)=4x³
• f'(x)=0 «  4x³=0 -> x=0
• f(0)=1
• f''(x)=12x²
• f''(0)=0
• f'''(x)=24x
• f'''(0)=0
• f^iv(x)=24
• f^iv(0)=24¹0

Como el orden de derivación para el que la derivada es distinta de cero es n=4, par y f^iv(0)>0 se trata de un Mínimo (0,1).
Al no tener punto de inflexión la curvatura no cambia en todo R: Es una función convexa.

Métodos de solución de ecuaciones factorizables a una función polinomial 

Para identificar las aplicaciones una función polinomial de grado tres, presentamos una situación común de construcción.

Se tiene una hoja cuadrada de cartón de72 cm de lado y quieres construir una caja para sus cosas recortando un cuadrado de cada esquina. ¿Cuáles deben ser las dimensiones del cuadrado recortado para que el volumen de la caja sea el máximo?

En esta situación se dispone de la lámina completa en la que se puede recortar un cuadrado de lado “x”. al cortar cada esquina y doblar las partes restantes para obtener la caja de base cuadrada cuyas dimensiones son, en la base, 72 – 2x centímetros de lado y una altura de x centímetros.

El volumen de cualquier caja se obtiene como el producto de cada una de sus aristas, para este caso:

V= (72-2x)² x y desarrollando y simplificando se obtiene:

V = 4x³ – 288x² + 5 184x

Esta expresión algebraica determina el volumen máximo, pero necesitamos saber cuánto hay que recortar para que así sea. Pero si encontramos las raíces de esta función obtenernos el valor para que sea cero la función y no el valor de x para un mayor volumen. Al realizar un tabla de valores para x y y, encontraremos que hay un máximo volumen en 12 centímetros.

Representación grafica de una funciones polinomiales grado tres y cuatro 

f(x)= x3 - 4 x2 + x + 6	- 1, 2 y 3	f(x) = (x + 1) (x - 2) (x - 3)
f(x)= x4 - 5 x2 + 4	- 2, - 1, 1 y 2	f(x) = (x + 1) (x + 2) (x - 1) (x - 2)