Matemáticas IV: Bloque 5 Utilizas funciones factorizables en la resolución de problemas

Ceros y raíces de la función

Llamamos ceros o raíces de una función f a los valores de x para los cuales se cumple que f(x)=0. Los ceros de una función son las abscisas de los puntos en los cuales su gráfica tiene contacto con el eje de las x.

Raíces

Las raíces ( o ceros) de la función cuadrática son aquellos valores de x para los cuales la expresión vale 0, es decir los valores de x tales que y = 0. Gráficamente corresponden a las abscisas de los puntos donde la parábola corta al eje x. Podemos ver a continuación que existen parábolas que cortan al eje x en:

Ejercicio 1:

función polinómica:

f(x) = 2x³ + 7x² - 7x - 12

Y nos piden hallar los ceros. Los ceros o raíces de una función son las "x" para las cuales la "y" (ó f(x)) vale cero. Es decir: son los números a los cuales, si le aplicas la función, el resultado dá cero. Se pueden hallar "igualando a cero" la fórmula de la función, que es lo mismo que "reemplazar por cero" a la "y" o a f(x) de la fórmula:

2x³ + 7x² - 7x - 12 = 0

Ejercicio 2:

f(x) = x² + x - 12

Cuando lo igualamos a cero y lo resolvemos tenemos:

x² + x - 12 = 0	Igualando a cero.
(x + 4)(x - 3) = 0	Factorizando.
x = - 4	Solución 1
x = 3	Solución 2

Puesto que x₁ = - 4 y x₂ = 3 son soluciones de f(x) entonces f( -4 )= 0 y f( 3 )= 0. Decimos entonces que x = - 4 y x = 3 son raíces del polinomio f(x)= x² + x - 12

Las raíces de f(x) = x³ - 4 x² + x + 6 son x = - 1, x = 2 y x = 3

Teoremas del factor y del residuo

Algoritmo de la división. Para cada polinomio de grado mayor o igual a uno y para cada número , existe un polinomio único de un grado menor que el de y un número único R, tal que:

.
Al polinomio

se le denomina cociente,

en el divisor y R es el residuo.

Teorema del residuo. Si es el residuo de dividir el polinomio entre , entonces .

Demostración.
Como

por el algoritmo de la división, se tiene que si

.
O sea,

.

Ejemplo 1:
Hállese el residuo de dividir el polinomio

entre

se puede escribir como

, por tanto

.
O sea que el residuo es 2.

Teorema del factor. Si es un cero del polinomio , entonces es un factor de .

Demostración.
Si

es un cero de

.
Pero por el algoritmo de la división

.
Como

.
Por tanto,

.

Ejemplo 2:
Use el teorema del factor para probar que

es un factor de

, así

.
Luego –1 es un cero de

.
Así

es un factor de

Division sintetica

La división sintética es un procedimiento "abreviado" para determinar el cociente y el residuo que se obtiene al dividir un polinomio

de grado $n, \, \, \, n \geq 1$ , por un polinomio de la forma $x-\alpha$ , con $\alpha \in I \!\!R$ , a partir de los coeficiente de

y el cero de $x-\alpha$ .

Ejemplo 1 :
Sean

polinomios tales que: $P(x) = -8x^3+x^4-16+2x; \, \, \, Q(x) = x-8$ .
Usando división sintética, determine el cociente

y el residuo

que se obtiene al dividir

por

.
Solución

Ordenando

en forma desendiente de acuerdo a su grado, se obtiene:

, y realizando la división se tiene:

Los números 1, 0, 0 y 2 son coeficientes del cociente. Y el número 0 es el residuo.

Por lo que

o sea

Nota: Observe que al realizar la división sintética, tanto los coeficientes del dividendo que son diferentes de cero, como los que son iguales a cero, debem escribirse.

Ejemplo 2:

Realice la división de P(x) = 3x⁴ + 2x³ - x² + 4x + 2 entre x + 2.

Solución
Al realizar el algoritmo de la división sintética con los coeficientes de P(x) y -2 como valor de c se obtiene

Así, el cociente de la división de P(x) entre x + 2 es 3x³ - 4x² + 7x - 10 y se obtiene un residuo r = 22.

Teorema fundamental del álgebra

El Teorema Fundamental del Algebra (TFA) dice que todo polinomio a coeficientes complejos tiene un raíz compleja, es decir existe un número complejo donde el polinomio evalúa a cero. Hay muchas demostraciones de este importante resultado. Todas requieren bastantes conocimientos matemáticos para formalizarlas, por ejemplo la división sintética, el teorema del factor incluso el teorema del residuo. Sin embargo, si se deja de lado algo del rigor matemático, hay argumentos simples y creíbles, que le permiten a uno convencerse de la veracidad del TFA.

Este teorema resulta de suma importancia dentro del estudio de las ecuaciones. Encontrar la solución de una ecuación representa encontrar todos los valores de x para los cuales la ecuación es cierta, a las que comúnmente le llamamos raíces de la ecuación, generalmente las soluciones que de manera inmediata nos interesan son los valores que existan en los reales, sin que con ello las soluciones complejas no sean interesantes.

Teorema de factorización lineal

Si f(x) es un polinomio de grado n, con n > 0, entonces f(x) tiene precisamente n
factores lineales, es decir:
f(x) = a(x – c1)(x – c2)....(x – cn),

en donde c1, c2, .....cn son números complejos y a es el coeficiente principal de f(x).

Ejemplo 1:

Gráficas de funciones polinomiales factoriales